仕事算とニュートン算量がWの仕事があり、1時間あたりkの仕事ができるとき、t時間後の仕事の残りはW-ktt時間後に仕事が終わるならば、W-kt=0、W=kt 1時間あたりa、b、cの仕事ができるとき、r、s、t時間後に仕事が終わるならば、 W=ar=bs=ct、a=W/r、b=W/s、c=W/t Wをr、s、tの最小公倍数にすれば、a、b、cは整数になる Wを素因数分解の形のまま処理した方が計算が楽になる場合も多い a、b、cはWに比例するので、Wに具体的な値が与えられていないならばWは任意に決めてよい これが仕事算 Wをr、s、tの最小公倍数にすることがポイント 初めに量がWの草があり、さらに1時間あたりwの草が生えるとして、 1時間あたりnの草を食べる牛がk頭いるとき、 t時間後の草の残りはW+wt-knt t時間後に食べつくすならば、W+wt-knt=0、W=(kn-w)t 牛がi、j、k頭いるとき、r、s、t時間後に食べつくすならば、 W=(in-w)r=(jn-w)s=(kn-w)t n、w、Wは比例するので、n、w、W全てに具体的な値が与えられていないならばn=1としてよい これがニュートン算 単純なものならW=(in-w)r=(jn-w)s=(kn-w)tだけで解けるが、 牛が途中で増えたり減ったりするときなどは、 t時間後の草の残りはW+wt-kntであることも考慮する必要がある まあ初見では W+wr-inr=0 W+ws-jns=0 の連立方程式を解く方針が真っ先に思い浮かぶだろうし、 またこれなら解答を見れば何をやっているのかすぐにわかると思うから、 http://server-test.net/sansuu/ ここではこれを使っている |
無題ax+by=m(x+y)のとき(a-m)x=(m-b)yこれがてんびんの方程式的表現 食塩水ならa、b、mが濃度、x、yが食塩水の量 塩の量の合計は等しいから等式が成り立つ 平均ならa、bが一部の平均点、mが全部の平均点、x、yは人数など 全部の合計点は等しいから等式が成り立つ 解くにあたりax+by=m(x+y)の形の方程式がイメージできる場合、 いきなり(a-m)x=(m-b)yを書く x+y=k ax+by+c=m これはつるかめ x、yは鶴、亀の頭の数、a、bは1羽あたりの足の本数 単純なつるかめならc=0だが0でない場合も出てくる ax+bx-bx+by+c=m、bk+c-(b-a)x=m、x=(bk+c-m)/(b-a) でつるかめの解の公式 bk+cが鶴が0羽（すべて亀）のときの足の数 鶴を増やせば（亀を減らせば）(b-a)本ずつ足の数が減っていくのでxは鶴の数になる 亀の数なら ax+ay-ay+by+c=m、ak+c+(b-a)y=m、y={m-(ak+c)}/(b-a) x+y=k ax+by+c=m の形の連立方程式がイメージできて x=(bk+c-m)/(b-a)またはy={m-(ak+c)}/(b-a)が頭の中で計算できる場合、暗算で解ける ところで x+y=k ax+by+c=m より akx+bky=(m-c)(x+y) {m-(ak+c)}x={(bk+c)-m}y で、てんびん 実際の足の数とすべて鶴のときの足の数の差に、鶴の数を掛けたものと、 すべて亀のときの足の数と実際の足の数の差に、亀の数を掛けたものが等しい 先は鶴が0羽だったが、こちらはすべて鶴なことに注意 x+y=k ax+by+c=m の形の連立方程式がイメージできる場合、 {m-(ak+c)}x={(bk+c)-m}yと書くことでxとyの比がすぐに求まる 方程式を素早く解くためのテクニック（のはず） 特殊算のように図は書いていないから「方程式の方が早い」とも言えるし、 特殊算的な考え方で方程式を解いているから「特殊算の方が早い」とも言える 中受算数を見ていると、方程式か特殊算かの論争を時々見かけるけど、 （多くは親が方程式派で塾講師が特殊算派な気がする） 上で書いたことは自分自身が素早く解くために考えていることであり、 他者に教えるとなると全く違ってくるだろうから、 俺がこの問題に言及することはできない ところでここにある解答は http://server-test.net/sansuu/ 上記のようなことは使っていない（はず） 素早く解くことを重視し過ぎると解答としてわけがわからなくなり、 自分でも後に見たときわからなくなったりする ただ x+y=k ax+by+c=m を普通に方程式で解く場合、 ax-bx+bx+by+c=mを頭の中で考え、 まず(a-b)x+bk+c=mと上書きすることは使っている 代入法や加減法で一つ一つ丁寧に式を書いていったら、流石に遅すぎる なお食塩水から水を蒸発させる場合、 0％の食塩水をyだけ加える（ただしyは負の値になる）と考えれば (a-m)x=(m-b)y がそのまま使える 状況を変えて考えていないから、たぶんこちらの方が頭が混乱しにくい気がする この場合a-mが負の値になるからyも負の値として求まる |