\documentclass[12pt]{jsarticle}
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\usepackage[dvipdfm]{graphicx}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\setlength{\baselineskip}{22pt}
\begin{flushleft}
{\huge 6}
　平面上の2点$P$，$Q$の距離を$d(P,Q)$と表すことにする．
平面上に点$O$を中心とする一辺の長さが1000の正三角形$\triangle A_1A_2A_3$がある．
$\triangle A_1A_2A_3$の内部に3点$B_1$，$B_2$，$B_3$を，$d(A_n,B_n)=1$ $(n=1,2,3)$となるようにとる．
また，
\begin{description}
\item[]$\overrightarrow{a_1}=\overrightarrow{A_1A_2}$，
$\overrightarrow{a_2}=\overrightarrow{A_2A_3}$，
$\overrightarrow{a_3}=\overrightarrow{A_3A_1}$
\item[]$\overrightarrow{e_1}=\overrightarrow{A_1B_1}$，
$\overrightarrow{e_2}=\overrightarrow{A_2B_2}$，
$\overrightarrow{e_3}=\overrightarrow{A_3B_3}$
\end{description}
とおく．
$n=1,2,3$のそれぞれに対して，時刻0に$A_n$を出発し，
$\overrightarrow{e_n}$の向きに速さ1で直進する点を考え，時刻$t$におけるその位置を$P_n(t)$と表すことにする．
\begin{description}
\item[(1)]ある時刻$t$で$d(P_1(t),P_2(t))\leqq1$が成立した．
ベクトル$\overrightarrow{e_1}-\overrightarrow{e_2}$と，ベクトル$\overrightarrow{a_1}$とのなす角度を$\theta$とおく．
このとき$\displaystyle|\sin\theta|\leqq\frac{1}{1000}$となることを示せ．
\item[(2)]角度$\theta_1$，$\theta_2$，$\theta_3$を
$\theta_1=\angle B_1A_1A_2$，$\theta_2=\angle B_2A_2A_3$，$\theta_3=\angle B_3A_3A_1$によって定義する．
$\alpha$を$\displaystyle0<\alpha<\frac{\pi}{2}$かつ$\displaystyle\sin\alpha=\frac{1}{1000}$をみたす実数とする．
(1)と同じ仮定のもとで，$\theta_1+\theta_2$の値のとる範囲を$\alpha$を用いて表せ．
\item[(3)]時刻$t_1$，$t_2$，$t_3$のそれぞれにおいて，次が成立した．
\[ d(P_2(t_1),P_3(t_1))\leqq1, \hspace{1zw} d(P_3(t_2),P_1(t_2))\leqq1, \hspace{1zw} d(P_1(t_3),P_2(t_3))\leqq1 \]
このとき，時刻$\displaystyle T=\frac{1000}{\sqrt3}$において同時に
\[ d(P_1(T),O)\leqq3, \hspace{1zw} d(P_2(T),O)\leqq3, \hspace{1zw} d(P_3(T),O)\leqq3 \]
が成立することを示せ．
\end{description}
\end{flushleft}
\includegraphics[width=5cm]{fig_2009_6.jpg}
\end{document}
