\documentclass[12pt]{jsarticle}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\setlength{\baselineskip}{22pt}
\begin{flushleft}
{\huge 2}
　集合$A$，$B$を$A=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}$，$B=\{0,1\}$とし，$N$を3以上の整数とする．
また，各項が0または1からなる数列を01数列と呼ぶことにする．\\
01数列$a_1,a_2,\cdots,a_N$に対し，
$A$から$B$への写像$f$を用いて，
新しい01数列$b_1,b_2,\cdots,b_N$を，
\[ b_1=f(a_1), \hspace{1zw} b_2=f(2a_1+a_2), \hspace{1zw} b_k=f(4a_{k-2}+2a_{k-1}+a_k) \hspace{1zw}
(k=3,4,\cdots,N) \]
と定め，
$b_1,b_2,\cdots,b_N$は$a_1,a_2,\cdots,a_N$から$f$によって得られるという．
ただし，$A$から$B$への写像$f$とは，
$A$の各要素$x$に対して$B$の要素$f(x)$をただひとつ対応させる規則をさすものとする．\\
次の問に答えよ．
\begin{description}
\item[(1)]$A$から$B$への写像は，全部で何通りあるか．
\item[(2)]$f(0)=f(3)=f(4)=f(7)=0$，$f(1)=f(2)=f(5)=f(6)=1$，であるとき，
\[ b_k=\frac{1}{2}\{1+{(-1)}^k\} \hspace{1zw} (k=1,2,\cdots,N) \]
となるような01数列$a_1,a_2,\cdots,a_N$を求めよ．
\item[(3)]$A$から$B$への写像$f$が，条件
\[ (P) \hspace{1zw} f(2m) \neq f(2m+1) \hspace{1zw} (m=0,1,2,3) \]
を満たすとする．このような$f$は何通りあるか．
\item[(4)]$A$から$B$への写像$f$が条件(P)を満たすならば，
どのような$N$項からなる01数列も，
ある01数列$a_1,a_2,\cdots,a_N$から$f$によって得られることを示せ．
\end{description}
\end{flushleft}
\end{document}
