\documentclass[12pt]{jsarticle}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\setlength{\baselineskip}{22pt}
\begin{flushleft}
{\huge 5}
　2次の正方行列$A$を$A=\begin{pmatrix} \displaystyle-\frac{1}{\sqrt2} & \displaystyle-\frac{1}{\sqrt2} \\
\displaystyle\frac{1}{\sqrt2} & \displaystyle-\frac{1}{\sqrt2} \end{pmatrix}$で定める。
$n=1, \, 2, \, 3, \, \cdots$に対して，点$P_n(x_n, \, y_n)$を関係式
\[ \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix}=A\begin{pmatrix} x_{n-1} \\ y_{n-1} \end{pmatrix}
+\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \hspace{1zw} (n=1, \, 2, \, 3, \, \cdots) \]
で定める。ただし，$x_0=1$，$y_0=0$とする。
\begin{description}
\item[(1)]$A^4$を求めよ。
\item[(2)]$n=0, \, 1, \, 2, \, \cdots$に対して，
\[ \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix}=(E-A^{n+1}){(E-A)}^{-1}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \]
が成り立つことを示せ。ただし，$E$は2次の単位行列とする。
\item[(3)]原点$O$から$P_n$までの距離$OP_n$が最大となる$n$を求めよ。
\end{description}
\end{flushleft}
\end{document}
