\documentclass[12pt]{jsarticle}
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\pagestyle{empty}
\begin{document}
\setlength{\baselineskip}{22pt}
\begin{flushleft}
{\huge 4}
　正の整数$n$に対して$1, \, 2, \, \cdots, \, n$を一列に並べた順列を考える。
そのような順列は$n \, !$個ある。
このうち1つを等確率で選んだものを$(a_1, \, a_2, \, \cdots, \, a_n)$とする。
この$(a_1, \, a_2, \, \cdots, \, a_n)$に対し，
各添字$i=1, \, 2, \, \cdots, \, n$について，$a_i$の値が$j$であるとき，
その$j$を添字にもつ$a_j$の値が$k$であることを$a_i=j \to a_j=k$と書くことにする。
ここで$a_i=j \to a_j=k \to a_k=l \to \cdots$のようにたどり，それを続けていく。
例えば$(a_1, \, a_2, \, a_3, \, a_4, \, a_5, \, a_6, \, a_7)=
(2, \, 5, \, 6, \, 1, \, 4, \, 3, \, 7)$のとき，
\begin{description}
\item[(i)]$a_1=2 \to a_2=5 \to a_5=4 \to a_4=1 \to a_1=2$
\item[(ii)]$a_3=6 \to a_6=3 \to a_3=6$
\item[(iii)]$a_7=7 \to a_7=7$
\end{description}
となり，どの$i$から始めても列は必ず一巡する。この一巡するそれぞれの列をサイクル，
列に現れる相異なる整数の個数をサイクルの長さと呼ぶ。
上の(i)，(ii)，(iii)は長さがそれぞれ4，2，1のサイクルになっている。
\begin{description}
\item[(1)]$n=3$とする。選んだ順列が長さ1のサイクルを含む確率を求めよ。
\item[(2)]$n=4$とする。長さ4のサイクルを含む順列をすべて挙げよ。
\item[(3)]$n$以下の正の整数$k$に対して
\[ \sum_{j=k}^n\frac{1}{j}>\log(n+1)-\log k \]
を示せ。
\item[(4)]$n$を奇数とする。選んだ順列が長さ$\displaystyle\frac{n+1}{2}$以上のサイクルを
含む確率$p$は$p>\log2$をみたすことを示せ。
\end{description}
\end{flushleft}
\end{document}
