\documentclass[12pt]{jsarticle}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\setlength{\baselineskip}{22pt}
\begin{flushleft}
{\huge 2}
　座標平面上の変換$f:P(x, \, y) \to P'(x', \, y')$を
\[ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}=
\frac{1}{2}A\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \hspace{1zw}
A=\begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix} \]
で定める．ここで，$0 \leqq \alpha<2\pi$とする．
初期点$P_0$を原点$O$にとり，漸化式$P_{n+1}=f(P_n)$ $(n\geqq0)$により，点列
\[ P_1(x_1, \, y_1), \, P_2(x_2, \, y_2), \, \cdots\cdots, P_n(x_n, \, y_n), \cdots\cdots \]
をつくる．次の問に答えよ．
\begin{description}
\item[(1)]変換$f$について，$f(U)=U$となる点$U(a, \, b)$を求めよ．この点を変換$f$の不動点という．
\item[(2)]この不動点$U$について，
\[ |\overrightarrow{UP_{n+1}}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{UP_n}|, \hspace{1zw}
\angle P_nUP_{n+1}=\alpha \hspace{1zw} (n\geqq0) \]
を示せ．
\item[(3)]$\alpha$を変化させたとき，不動点$U$は円の周上を動くことを示せ．
また，その円の中心と半径を求めよ．
\item[(4)]三角形$P_nUP_{n+1}$ $(n\geqq0)$の面積を$S_n$，
その総和を$\displaystyle S=\sum_{n=0}^\infty S_n$とする．
$\alpha$を変化させたときの$S$の最大値を求めよ．
\end{description}
\end{flushleft}
\end{document}
