\documentclass[12pt]{jsarticle}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\setlength{\baselineskip}{22pt}
\begin{flushleft}
{\huge 4}
　$xy$平面上を次の規則(i)，(ii)に従って移動する点Aを考える。
\begin{description}
\item[(i)]時刻0で点Aは原点にある。
\item[(ii)]ある時刻において点Aが$(x, \, y)$にあるとき，時刻が1増えると点Aは
3点$(x+1, \, y), \, (x+1, \, y+1), \, (x, \, y+1)$のいずれかに
それぞれ$\displaystyle\frac{1}{3}$の確率で移動する。
\end{description}
1以上の整数$n$に対して，次の条件(＊)が成り立つ確率を$P_n$とする。
\begin{description}
\item[(＊)]時刻0から時刻$n$まで点Aはつねに$-1 \leqq y-x \leqq 1$で定まる領域にある。
\end{description}
このとき，以下の問いに答えよ。
\begin{description}
\item[(1)]$P_1, \, P_2, \, P_3$を求めよ。
\item[(2)]1以上の整数$n$に対して，条件(＊)が成り立ちかつ時刻$n$で点Aが直線$y-x=0$上にある確率を$a_n$とする。
また，条件(＊)が成り立ちかつ時刻$n$で点Aが直線$y-x=1$上または直線$y-x=-1$上にある確率を$b_n$とする。
$a_{n+1}, \, b_{n+1}$を$a_n, \, b_n$を用いて表せ。
\item[(3)]$P_{n+2}$を$P_{n+1}, \, P_n$を用いて表せ。
\item[(4)]$\displaystyle\alpha=\frac{1+\sqrt2}{3}$とおくとき，
\[ P_n \leqq \alpha^{n-1} \]
が1以上のすべての整数$n$に対して成り立つことを証明せよ。
\end{description}
\end{flushleft}
\end{document}
