\documentclass[12pt]{jsarticle}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\setlength{\baselineskip}{22pt}
\begin{flushleft}
{\huge 5}
　$n$を正の整数，$a$を正の実数とする．
曲線$y=x^n$と曲線$y=a\log x$が，
点$P$で共通の接線をもつとする．
ただし，対数は自然対数である．
点$P$の$x$座標を$t$とするとき，
以下の問いに答えよ．
\begin{description}
\item[(1)]$a$，$t$をそれぞれ$n$を用いて表せ．
\item[(2)]曲線$y=x^n$と$x$軸および直線$x=t$で囲まれる部分の面積を$S_1$とする．
また，曲線$y=a\log x$と$x$軸および直線$x=t$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする．
このとき，$\displaystyle\frac{S_2}{S_1}$を$n$を用いて表せ．
\item[(3)]$x\geqq0$のとき，
不等式$\displaystyle\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}\leqq e^{-x}+x-1\leqq\frac{x^2}{2}$が成り立つことを，
次の(a)，(b)に分けて示せ．
ただし，$e$は自然対数の底とする．
\begin{description}
\item[(a)]$x\geqq0$のとき，不等式$\displaystyle e^{-x}+x-1\leqq\frac{x^2}{2}$が成り立つことを示せ．
\item[(b)]$x\geqq0$のとき，不等式$\displaystyle\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}\leqq e^{-x}+x-1$が成り立つことを示せ．
\end{description}
\item[(4)]極限値$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{S_2}{S_1}$を求めよ．
\end{description}
\end{flushleft}
\end{document}
