\documentclass[12pt]{jsarticle}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\setlength{\baselineskip}{22pt}
\begin{flushleft}
{\huge 2}
　正の整数$a$に対し，$a$の正の約数全体の和を$f(a)$で表す．
ただし，1および$a$自身も約数とする．
たとえば，$f(1)=1$であり，
$a=15$ならば15の正の約数は$1, \, 3, \, 5, \, 15$なので，$f(15)=24$となる．
次の問いに答えよ．
\begin{description}
\item[(1)]$a$が正の奇数$b$と正の整数$m$を用いて$a=2^mb$と表されるとする．
このとき$f(a)=(2^{m+1}-1)f(b)$が成り立つことを示せ．
\item[(2)]$a$が2以上の整数$p$と正の整数$q$を用いて$a=pq$と表されるとする．
このとき$f(a)\geqq(p+1)q$が成り立つことを示せ．
また，等号が成り立つのは，$q=1$かつ$p$が素数であるときに限ることを示せ．
\item[(3)]正の偶数$a$，$b$は，
ある整数$m$，$n$とある奇数$r$，$s$を用いて
$a=2^mr$，$b=2^ns$のように表すことができる．
このとき$a$，$b$が$f(a)=2b$，$f(b)=2a$をみたせば，
$r$，$s$は素数であり，かつ$r=2^{n+1}-1$，$s=2^{m+1}-1$となることを示せ．
\end{description}
\end{flushleft}
\end{document}
