東大理科　1990前期　2　

1 ：名無しさん：2011/02/27(日) 23:03:46

問題文の条件から、
・原点で点対称の３次関数。すなわちs=0
・p q r=1, -p q-r=-1。すなわちq=0
よって、h(x)=px^3-(p-1)x
∴h'(x)=3px^2-p 1
h(x)が2つの極値をもつので、x= -ルート(p-1/3p)でh'(x)=0となり、p>1

(1)は、h(x)にx=ルート(p-1/3p)を代入した結果が-1となるように方程式を立てて
pをもとめる。p=4でありh(x)=4x^3-3x
(2)は、f(x)がh(x)と同様の条件(＝原点,(1,1),(-1,-1)をとおり-1<x<1で
2つの極値を持つ)を満たす関数であることを見抜く。
f(x)がx<-1, 1<xで絶対値でh(x)より上回るには、x^3の係数がh(x)より
大きくなる必要がある。
このとき、極大値が1未満、極小値が-1を満たせなくなることを示す。
h(x)にx=ルート(p-1/3p)を代入した式をg(p)とおき、
g(p)がp>4で必ず-1より下回ることを示せればOK。